Pilihan
Pemilu! Beli kue yang sudah disiapkan atau panggang dengan bahan-bahan penting seperti tepung, telur, dan susu? Masalahnya mungkin waktu atau ketersediaan. Mungkin tokonya tutup, atau mungkin tidak ada waktu untuk membuat kue dari awal.
Pilihan serupa sering ada dalam matematika: gunakan rumus, atau dapatkan jawaban dari ide yang lebih sederhana. Dalam pelajaran ini, kami akan menghitung jarak dari titik ke garis menggunakan rumus, dan kami juga akan menentukan jarak ini menggunakan ide dan persamaan dasar. Sama seperti kue, apakah hasilnya akan sama?
Titik dan garis
Bayangkan sebuah garis dan titik dalam ruang dua dimensi.
Titik dan garis |
Kami mungkin menghitung jarak dari jalan ke alamat atau jarak dari garis zona akhir ke lokasi pemain di lapangan. Dalam semua kasus ini, kita memiliki persamaan garis dan koordinat titik.
Sebagai contoh, persamaan garisnya adalah y = (1/2) x – 1 dan titik ( x 1, y 1) terletak di titik (2, 3).
Menggunakan rumus untuk mendapatkan jarak
Memiliki persamaan garis dalam bentuk ax + b y + c = 0 dan mengetahui koordinat titik memberi kita jarak dari titik ke garis menggunakan rumus:
Bagaimana jika persamaan garis memiliki bentuk lain? Ini adalah situasi dalam contoh kita di mana garis y = (1/2) x – 1 dalam bentuk perpotongan kemiringan . Mari kita ubah ke bentuk a x + b y + c = 0. Pertama, kalikan kedua ruas persamaan dengan 2 untuk mendapatkan 2 y = x – 2.
Kemudian pindahkan semua suku ke sisi yang sama dan susun persamaannya sehingga suku x muncul lebih dulu: x – 2 y – 2 = 0.
Membandingkan persamaan ini dengan ax + b y + c = 0, kami mengidentifikasi: a = 1, b = -2 dan c = -2. Letak titik mengatakan bahwa x 1 adalah 2 dan y 1 adalah 3. Substitusi ke rumus jarak:
Bagaimana jika rumus jarak ini tidak tersedia? Bisakah kita menentukan jarak menggunakan beberapa ide dari geometri dan aljabar? Ini seperti memanggang dengan bahan-bahan penting sebagai alternatif untuk membeli produk jadi yang dibeli di toko. Untuk latihan, mari kita lakukan ini. Kami akan mengambil satu bahan pada satu waktu.
Jarak tanpa rumus
Ini akan menyenangkan! Pertama, visualisasikan garis yang tegak lurus dengan garis kita. Garis tegak lurus membentuk sudut siku-siku (90°) dengan garis kita. Juga, kami ingin garis tegak lurus melewati titik ( x 1, y 1).
garis perdikuler |
Ide selanjutnya adalah menulis persamaan garis tegak lurus ini. Kita menggunakan bentuk titik kemiringan sebuah garis: y – y1 = m ( x – x1). Sangat mudah! Kita mengetahui sebuah titik pada garis tegak lurus: ( x 1, y 1). Bagaimana dengan kemiringan ‘m’? Kemiringan ‘m’ adalah kebalikan negatif dari garis contoh. Kemiringan garis contoh adalah ½. Kebalikan negatif dari ½ adalah -2. Substitusikan ke y – y1 = m ( x – x1) hasilnya: y – 3 = -2 ( x – 2).
Kami menjadi sangat dekat! Garis tegak lurus memotong garis contoh di ( x 2, y 2).
Lokasi (x2, y2) |
Untuk mencari irisan ini, kita selesaikan x dan y dalam dua persamaan: x – 2 y – 2 = 0 dan Y – 3 = -2 ( x – 2).
Dari x – 2 y – 2 = 0, kita dapat menulis x = 2 y + 2.
Mengganti ruas kanan, 2 y + 2, untuk x di y – 3 = -2 ( x – 2) menghasilkan: y – 3 = -2 (2 y + 2 – 2) = -2 (2 y + 0 ) = -4 dan . Sekarang kita memiliki y – 3 = -4 y .
Menyelesaikan y – 3 = -4 y untuk y menghasilkan: y + 4 y = 3 lalu 5 y = 3 dan akhirnya y = 3/5 = 0,6. Ini adalah nilai y 2.
Untuk mencari x 2, masukkan y = 3/5 ke dalam x = 2 y + 2, yang menghasilkan x = 2 (3/5) + 2 = 6/5 + 10/5 = 16/5 = 3,2.
Oleh karena itu, titik persimpangan ( x 2, y 2) adalah (3.2, 0.6).
Jarak titik ke garis adalah jarak antara ( x 1, y 1) dan ( x 2, y 2):
Jarak dari (x1, y1) ke (x2, y2) |
Kami menemukan jarak antara dua titik ini menggunakan persamaan jarak :
Ini adalah jarak yang sama seperti sebelumnya. Sepertinya Anda bisa membelinya di toko atau membuatnya dengan tangan.
Ringkasan Pelajaran
Rumus jarak dari titik ke garis ditulis dalam konstanta ‘a’, ‘b’, dan ‘c’, dan koordinat ( x 1, y 1) dari titik tersebut. Konstanta diidentifikasi dari persamaan garis yang ditulis dalam bentuk a x + b y + c = 0. Jika persamaan linier memiliki bentuk lain, seperti bentuk perpotongan kemiringan atau bentuk titik kemiringan , terlebih dahulu ubah ke bentuk a x + b y + c = 0. Jarak titik ke garis juga dapat dicari dengan mencari persamaan garis tegak lurus yang melalui ( x 1, y 1) dan mencari koordinat titik potong ( x 2, dan 2). Persamaan jarak menghitung jarak antara titik ( x 1, y 1) dan ( x 2, y 2). Hasilnya identik dengan rumus jarak.