Sebuah sistem linier dalam tiga variabel
Anda mungkin sudah familiar dengan persamaan linier, seperti y = 3 x + 4 atau y – 3 x = 4. Persamaan ini, jika dibuat grafik, akan menghasilkan garis lurus. Sistem linier , kemudian, adalah kumpulan persamaan linier. Persamaan linear biasa kita hanya memiliki dua variabel. Karena kita memiliki dua variabel, sistem linier yang menggunakan jenis persamaan ini akan memiliki dua persamaan.
Tapi tahukah Anda bahwa Anda juga bisa memiliki sistem linier dengan tiga variabel? Jika kamu bisa. Sistem linier dalam tiga variabel, maka, akan memiliki tiga persamaan karena memiliki tiga variabel. Persamaan ini, seperti yang hanya memiliki dua variabel, tidak memiliki eksponen. Ini adalah contoh sistem linier dalam tiga variabel:
|
Sistem linier tiga variabel |
Melihat sistem ini, kita melihat tiga variabel kita, x , y , dan z . Ketiga huruf ini adalah yang paling umum digunakan, meskipun Anda dapat menggunakan huruf apa pun yang Anda suka; Mereka juga tidak harus teratur. Jika Anda memiliki teman bernama Sam, Anda juga dapat dengan mudah menggunakan ketiga huruf tersebut. Hal penting untuk diingat adalah bahwa kita memiliki tiga variabel berbeda, dan tidak satupun dari mereka memiliki eksponen.
Anda akan melihat jenis sistem linier ini dalam matematika yang lebih tinggi, di mana Anda akan diminta untuk menyelesaikannya. Seperti sistem lainnya, sistem linier kita dalam tiga variabel dapat memiliki satu solusi, tanpa solusi, atau solusi dalam jumlah tak terhingga. Seperti persamaan lain yang biasa kita selesaikan, jika sistem kita hanya memiliki satu solusi, kita hanya mencari satu titik. Tapi bagaimana dengan dua lainnya? Bagaimana cara mengetahui jika sistem kita tidak memiliki solusi atau memiliki solusi dalam jumlah tak terbatas? Ayo cari tahu.
Tanpa solusi
Setiap persamaan dalam sistem kita, ketika dibuat grafiknya, menghasilkan sebuah bidang datar, sebuah permukaan datar yang berlangsung selamanya. Karena kita berurusan dengan tiga variabel, kita berurusan dengan ruang tiga dimensi. Jadi, bayangkan sebuah pesawat melayang di luar angkasa. Kami memiliki tiga persamaan, jadi kami memiliki tiga permukaan datar yang mengambang.
Untuk mensimulasikan ini dalam skala yang lebih kecil, cukup ambil tiga lembar kertas, mintalah seorang teman untuk meminjamkan Anda tangan ketiga, dan pegang di tempat acak di depan Anda. Bayangkan lembaran kertas ini tidak berakhir; melanjutkan. Saat Anda terus bermain, Anda akan menyadari bahwa sering kali ketiga lembar kertas Anda tidak cocok.
Dalam hal ini, Anda tidak akan memiliki solusi. Bahkan jika dua bidang bertemu, jika bidang ketiga tidak bertemu pada titik atau titik yang sama dengan dua bidang lainnya, maka tidak ada penyelesaian. Seperti apa ini secara matematis? Ayo lihat. Mari kita coba selesaikan sistem ini:
Kita dapat menggunakan metode apa pun yang kita rasa nyaman untuk mencoba menyelesaikan variabel kita. Karena kami memiliki sistem yang dirancang dengan baik, saya akan menggunakan metode hapus untuk menghapus beberapa variabel agar lebih mudah bagi saya untuk mengetahuinya.
Saya melihat persamaan pertama dan ketiga dan melihat bahwa mereka siap untuk saya gabungkan. Jika saya menjumlahkan kedua persamaan ini, saya dapat menghilangkan setidaknya variabel x , yang berarti saya dapat membuat koefisien variabel x 0. Saya menambahkan kedua persamaan ini. Saya mendapatkan 0 + 0 + 0 = 4.
Hmmm… apakah ini masuk akal? Tidak, tidak seperti itu. 0 tidak pernah bisa sama dengan 4. Saya bisa berhenti di situ. Karena persamaan ketiga dan pertama menghasilkan pernyataan yang salah, itu memberi tahu saya bahwa sistem ini tidak memiliki solusi. Agar sistem linear dari tiga variabel tidak memiliki solusi, yang Anda butuhkan hanyalah menemukan dua persamaan yang, jika digabungkan, menghasilkan pernyataan yang salah.
solusi tak terbatas
Bagaimana dengan solusi tak terbatas? Kami memiliki dua kasus di mana kami berakhir dengan jumlah solusi yang tak terbatas. Yang pertama adalah saat semua bidang sejajar pada bidang yang sama, dan yang kedua adalah saat semuanya berpotongan dalam satu garis. Untuk pelajaran ini, kami memfokuskan perhatian kami pada kasus pertama, ketika semua bidang atau lembaran kertas terletak pada bidang yang sama. Mari kita lihat seperti apa secara matematis:
Kami akan menggunakan metode hapus lagi untuk mencoba menyelesaikan ini. Pertama-tama kita gabungkan persamaan pertama dan ketiga dengan menjumlahkannya, karena setidaknya kita dapat menghilangkan variabel x . Kita mendapatkan 0 + 0 + 0 = 0, yang menjadi 0 = 0. Itu adalah pernyataan yang benar. Ini memberitahu saya bahwa persamaan pertama dan ketiga adalah bidang yang sama.
Bagaimana dengan persamaan kedua? Ayo lihat. Saya dapat mengalikan persamaan ketiga dengan 3 lalu menambahkannya ke persamaan kedua untuk menghilangkan setidaknya satu variabel. Mengalikan persamaan ketiga dengan 3, saya mendapatkan -3 x – 3 y – 3 z = -9.
Menambahkan ini ke persamaan kedua, saya mendapatkan 0 + 0 + 0 = 0. Apakah ini pernyataan yang benar? 0 = 0. Ya, itu adalah pernyataan yang benar; itu berarti ketiga persamaan ini berada di bidang yang sama. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa sistem ini memiliki jumlah solusi yang tak terhingga.
Ringkasan Pelajaran
Mari kita tinjau apa yang telah kita pelajari sekarang. Kami belajar bahwa sistem linier adalah kumpulan persamaan linier. Jika kita memiliki sistem linier dalam tiga variabel, maka persamaan kita masing-masing akan memiliki tiga variabel, dan kita akan memiliki total tiga persamaan.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi, yang melibatkan kemungkinan mengalikan sebuah persamaan dengan sebuah angka dan kemudian menambahkannya ke persamaan lain dalam sistem untuk mencoba menghilangkan beberapa variabel.
Jika sistem kita tidak memiliki solusi, maka dua persamaan akan menghasilkan pernyataan yang salah, seperti 3 = 4. Jika sistem kita memiliki jumlah solusi yang tak terhingga, maka ketiga persamaan tersebut, jika digabungkan bersama, akan menghasilkan pernyataan yang benar, seperti sebagai 0 = 0.
hasil pembelajaran
Mempelajari konsep dalam pelajaran video ini dapat membantu Anda:
- Menjelaskan sistem linier dalam tiga variabel.
- Tentukan apakah sistem linear dari tiga variabel tidak memiliki solusi atau jumlah solusi yang tak terbatas.