Osilasi: definisi, teori dan persamaan=> Perhitungan <=

Contoh osilasi

Apa kesamaan pendulum jam kakek, hati Anda saat Anda duduk untuk membaca artikel ini, dan Bumi yang mengorbit mengelilingi Matahari? Petunjuk: jawabannya terkait dengan ciri pergerakan dari ketiga sistem yang sangat berbeda ini. Ketiga skenario tersebut melibatkan gerakan berulang: pendulum berayun bolak-balik, dinding otot ruang jantung berkontraksi selama setiap detak, dan Bumi mengikuti jalur yang sama mengelilingi Matahari setiap tahun. Lebih khusus lagi, ini adalah contoh osilasi. Osilasi didefinisikan sebagai gerakan yang berulang .

Seperti apa grafik ayunan itu?

Salah satu cara termudah untuk mengidentifikasi osilasi adalah dengan memeriksa grafik variabel yang mencirikan lokasi atau keadaan sistem saat berubah dari waktu ke waktu. Berikut adalah contoh grafik fungsi yang menggambarkan osilasi sederhana:

Variabel independen pada sumbu horizontal grafik ini adalah waktu, dan variabel dependen pada sumbu vertikal adalah variabel yang mencirikan sistem, seperti posisinya. Akibatnya, grafik ini menunjukkan bahwa seiring berjalannya waktu, kuantitas variabel pada sumbu vertikal (yang dapat berupa, misalnya, posisi pendulum pada jam kakek) berputar melalui nilai yang sama dalam pola yang dapat diprediksi dan berulang. Ini adalah bagaimana Anda dapat mengetahui dengan melihat grafik bahwa itu adalah ayunan.

Tidak semua osilasi itu sederhana, seperti contoh pada Gambar 1. Nyatanya, sebagian besar osilasi di dunia nyata tidak demikian. Di bawah ini adalah contoh grafik ayunan lainnya. Bisakah Anda melihat pola berulang dalam gerakan?

Pada Gambar 2, meskipun sistem tidak dicirikan oleh “perjalanan bolak-balik” yang sederhana, sistem ini masih merupakan osilasi karena variasi waktu dari variabel dependen berulang dengan sendirinya setelah waktu yang dapat diprediksi. Pengulangan ditandai dengan garis merah horizontal dan huruf T . Kami akan memberi T nama dan definisi di bagian selanjutnya.

Terakhir, penting untuk membahas jenis variabel apa yang menggambarkan suatu sistem dapat berosilasi. Contoh umum adalah koordinat posisi pusat sistem. Posisi adalah variabel yang berosilasi dalam sistem pendulum atau dalam gerakan orbit Bumi mengelilingi Matahari; namun, dalam kasus seperti jantung, di mana objek yang berosilasi tidak bergerak, tekanan arteri di ruang tertentu mungkin akan menjadi variabel yang dapat Anda plot untuk mengamati pola berulang osilasi yang khas. Poin penting di sini adalah bahwa posisi suatu objek tidak selalu merupakan variabel yang berosilasi dalam sistem nyata.

fungsi periodik

Kami baru saja menemukan bahwa kami dapat mengidentifikasi osilasi dengan mencari pola berulang pada bagan variabel yang menangkap keadaan sistem yang sedang dipertimbangkan. Ada kelas fungsi khusus yang grafiknya menunjukkan pola berulang dan karenanya merupakan fungsi terbaik untuk memodelkan perilaku sistem berosilasi. Mereka disebut fungsi periodik . Definisi matematis dari fungsi periodik pada dasarnya menerjemahkan prosedur visual untuk mengidentifikasi fungsi periodik, yang telah kita bahas di bagian sebelumnya, menjadi definisi simbolik. Secara khusus, suatu fungsi f(t) adalah fungsi periodik jika dan hanya jika untuk bilangan T yang disebut periodenya , fungsi tersebut memenuhi syarat, yang ditunjukkan pada Gambar 3, untuk semua t dalam domain fungsi.

Arti dari definisi ini dalam praktek adalah bahwa fungsi periodik mengulangi polanya selama interval waktu yang sama dengan periode T. Selain itu, berapa pun nilai t dalam domain fungsi yang Anda mulai cari polanya, periodenya tetap sama. Definisi ini lebih mementingkan kuantitas T : periode adalah waktu yang diperlukan untuk sebuah gerakan untuk mengulang dirinya sendiri. Luangkan waktu sejenak untuk melihat kembali Gambar 1 dan 2 dan lihat apakah Anda dapat mengidentifikasi periode secara visual. Berapa periode dalam satuan waktu sepanjang sumbu horizontal? Di mana pun Anda memulai pengukuran visual interval yang diperlukan agar pola berulang, Anda akan melihat bahwa satu pengulangan terjadi dalam 2 satuan waktu.

fungsi harmonik sederhana

Ada banyak contoh fungsi periodik. Faktanya, karena periode suatu fungsi dapat berupa bilangan positif apa pun, kita dapat mendefinisikan fungsi periodik dengan jumlah tak terhingga. Selain itu, pola pada repeating chart bisa berbentuk apa saja. Misalnya, ini adalah fungsi periodik yang disebut ‘gelombang persegi’:

Namun ternyata ada dua fungsi periodik yang lebih bermanfaat dari yang lainnya. Anda mungkin pernah melihat mereka sebelumnya ketika Anda belajar trigonometri: mereka adalah sinus dan kosinus. Bersama-sama kedua fungsi ini disebut fungsi harmonik sederhana .

Fungsi harmonik sederhana, sinus dan cosinus, memiliki dua sifat yang membuatnya sangat berguna dalam praktik saat memodelkan sistem berosilasi. Pertama, mereka dapat digunakan untuk menggambarkan gerak berosilasi sederhana untuk sembarang periode T menurut persamaan berikut:

Kuantitas A di depan fungsi sinus disebut amplitudo osilasi ; mencirikan ukuran osilasi dalam satuan terukur. Dalam bagan ayunan, A mencirikan seberapa jauh dalam arah vertikal bagan menyimpang dari sumbu horizontal. Anda dapat menskalakan argumen (baik input atau bagian dalam tanda kurung) cosinus dengan cara yang sama untuk membuat fungsi cosinus dengan periode T yang Anda inginkan.

Sifat kedua yang membuat fungsi harmonik sederhana menjadi berguna secara matematis cukup rumit, jadi kita hanya dapat membuat sketsa informal di sini. Ternyata fungsi periodik apa pun, betapapun rumitnya pola berulangnya, dapat dinyatakan sebagai penjumlahan fungsi harmonik sederhana dengan rentang periode tertentu. Ini, sangat longgar, adalah pernyataan teorema Fourier , yang menentukan metode untuk menguraikan fungsi periodik yang rumit menjadi jumlah fungsi sinus dan cosinus sederhana. Dengan kata lain, fungsi sinus dan kosinus umumnya merupakan blok bangunan dari setiap fungsi periodik yang dapat Anda pikirkan, dan menggambarkan setiap osilasi yang rumit, seperti kontraksi otot jantung.

Ringkasan Pelajaran

Osilasi ditandai dengan gerakan berulang dalam suatu sistem. Contoh goyangan adalah perputaran bumi pada porosnya setiap hari. Osilasi terlihat jelas pada grafik saat Anda melihat pola yang selalu berulang selama interval waktu tertentu. Interval ini disebut periode T dan merupakan ciri utama fungsi periodik. Dua fungsi periodik yang sangat berguna adalah fungsi harmonik sederhana, sinus dan kosinus, karena periodenya dapat dengan mudah dimasukkan ke dalam persamaan dan dapat digabungkan untuk menghasilkan osilasi dunia nyata yang rumit.