Turunan dari x 4
Mencari turunan menggunakan aturan pangkat berarti bahwa untuk xn , turunannya adalah nxn -1 . Dengan kata lain: n dipindahkan di depan x dan pangkatnya dikurangi 1 menjadi n – 1.
Mari kita temukan turunan dari x pangkat empat:
|
|
Langkah 1: Fokus pada eksponen.
Eksponennya adalah 4.
Langkah 2 – Buat salinan eksponen dan letakkan di depan.
Jika sudah ada koefisien di depan x , eksponen akan mengalikannya menjadi koefisien baru. Untuk f ( x ) = x 4 , koefisien di depan x 4 , adalah 1. Mengalikan 4 dengan 1 menghasilkan 4.
Langkah 3: Kurangi 1 dari eksponen.
|
|
Seperti yang Anda lihat dalam kasus kita di sini, kita mengurangkan 1 dari eksponen 4 untuk memberikan ekspresi baru.
Langkah 4: Bersihkan ekspresi.
Itu dia! Ekspresi kita sekarang:
|
|
Dan itu saja!
Menggunakan metode alternatif
Sekadar iseng, mari kita periksa hasil ini menggunakan definisi limit turunan, yang dapat Anda lihat muncul di layar Anda di sini:
|
|
Kita sudah punya f ( x ), jadi mudah untuk mendapatkan f ( x + h ). Di mana ada x di f ( x ), ganti x dengan x + h . Oleh karena itu, f ( x ) = x 4 menjadi f ( x + h ) = ( x + h ) 4 , seperti yang Anda lihat:
|
|
Dari definisi limit, mari kita buat dan kemudian sederhanakan f ( x + h ) – f ( x ) dibagi dengan h , seperti ini:
|
|
Pembilangnya memiliki ( x + h ) 4 , yang dapat diperluas. Salah satu cara untuk memperluas ini adalah dengan mengalikan ( x + h ) 2 dengan ( x + h ) 2 dimana ( x + h ) 2 adalah x 2 + 2 xh + h 2 . Pelacakan Istilah Umum:
( x + h ) 4 = x 4 + 4 x 3 h + 6 x 2 h 2 + 4 xh 3 + h 4 .
Mengganti, kami mendapatkan yang berikut ini yang dapat Anda lihat muncul di sini:
|
|
Kemudian x 4 dibatalkan menjadi – x 4 , menyisakan ekspresi sederhana berikut:
|
|
Kita dapat membagi setiap suku di pembilang dengan h di penyebut. Beberapa suku h juga batal, seperti yang Anda lihat di sini:
|
|
Dan sekarang, disederhanakan lagi, kita mendapatkan ini:
|
|
Ambil limit ketika h mencapai nol dengan mensubstitusi 0 untuk h di ruas kanan, lalu sederhanakan:
|
|
Jadi, seperti yang bisa kita lihat, 4 x 3 sama dengan hasil kita sebelumnya.
aplikasi dan contoh
Φ adalah jumlah energi yang dipancarkan per satuan luas (watt per meter 2 ) oleh benda yang memancarkan radiasi ideal. Φ tergantung pada suhu benda. Perkiraan Φ yang sangat baik diberikan oleh persamaan Stefan-Boltzmann, yang menyatakan bahwa:
|
|
Kedengarannya agak membingungkan, bukan? Mari kita analisis ini. σ adalah konstanta Stefan-Boltzmann sama dengan 5,67 * 10 -8 watt / (2 K meter). Suhu, T , diukur dalam Kelvin. Persamaan ini mengatakan bahwa jika kita mengetahui suhu suatu benda, kita dapat menghitung berapa banyak daya yang dipancarkan per meter persegi.
Fisika mungkin terlihat rumit, tetapi persamaannya sesederhana f ( x ) = x 4 . Apakah Anda melihat bagaimana Φ memiliki peran f ( x )? Dan T adalah variabel bebas kita?
Untuk mendeferensiasikan fungsi ini, langkah yang sama digunakan untuk mendiferensiasikan f( x ) = x 4. Omong-omong, kita mungkin ingin membedakan persamaan ilmiah ini jika ingin mengetahui apakah perubahan suhu, saat benda sudah panas, berdampak lebih besar daripada saat benda dingin. Faktanya mereka melakukannya! Tapi yang akan kita lakukan di sini adalah berlatih menemukan turunannya.
Langkah 1: Fokus pada eksponen.
Eksponennya adalah 4.
Langkah 2 – Buat salinan eksponen dan letakkan di depan.
Koefisien, σ, menjadi 4σ.
Langkah 3: Kurangi 1 dari eksponen.
4 – 1 = 3.
Langkah 4: Bersihkan ekspresi.
|
|
Suhu rata-rata Bumi adalah 288 K. Oleh karena itu, Φ = 5,67 * 10 -8 * 288 4 ≅ 390 watt / meter 2 . Jika kita dapat mengumpulkan energi ini per satuan waktu dan mengubahnya menjadi listrik, maka satu persegi, satu meter kali satu meter, dapat memberi daya pada hampir empat bola lampu 100 watt. Ini memberi kita gambaran tentang berapa banyak energi yang dipancarkan Bumi yang panas ke atmosfer.
Ringkasan Pelajaran
Baiklah, mari luangkan waktu sejenak untuk meninjau kembali apa yang telah kita pelajari. Dalam pelajaran ini, kita belajar bahwa mencari turunan menggunakan aturan pangkat berarti bahwa xn , turunannya adalah nxn -1, dan, dengan kata lain, ini berarti bahwa n dipindahkan ke depan x dan eksponen dikurangi dengan 1 menjadi n – 1. Dan, yang paling penting, kita belajar bahwa untuk menyelesaikan soal mencari turunan dari x 4 ini, kita hanya perlu mengikuti empat langkah:
- Langkah 1: Fokus pada eksponen.
- Langkah 2 – Buat salinan eksponen dan letakkan di depan.
- Langkah 3: Kurangi 1 dari eksponen.
- Langkah 4: Bersihkan ekspresi.
Ini benar-benar sesederhana itu!
