Konsep barisan geometri
Dalam matematika, urutan biasanya merupakan perkembangan angka dengan titik awal yang jelas. Apa yang membuat deret geometris adalah hubungan umum yang ada antara dua bilangan berurutan dalam deret.
Pertimbangkan turnamen bola basket NCAA. Setelah babak penyisihan, turnamen memiliki 64 tim. Pada babak 64 besar, semua tim bertanding, sehingga akan ada 32 tim yang tersingkir. Dengan kata lain, ada 32 tim tersisa, atau setengah dari yang kami mulai. Setelah babak 32 besar, tersisa 16 tim. Sekali lagi, jumlah tim telah dipotong setengah. Pola ini berlanjut hingga tersisa satu tim. Mari kita tulis ini sebagai urutan:
64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Apakah Anda melihat hubungan antara dua istilah berturut-turut? Setiap suku setelah suku pertama adalah setengah dari suku sebelumnya. Cara lain untuk melihatnya adalah dengan mengalikan setiap suku dengan ½ untuk mendapatkan suku berikutnya dalam deret tersebut. Perhatikan juga bahwa rasio suku apa pun dan suku sebelumnya adalah ½. Misalnya 32/64 = ½ dan 2/4 = ½. Ini disebut rasio umum dari deret geometri dan dilambangkan dengan r . Relasi ini harus valid untuk sembarang pasangan suku berurutan. Jika tidak, barisan tersebut bukanlah barisan geometri.
Contoh ini adalah barisan geometri berhingga; barisan berhenti di 1. Beberapa barisan geometri berlanjut tanpa akhir, dan barisan seperti itu disebut barisan geometri tak terhingga.
Identifikasi barisan geometri
Mari kita lihat contoh barisan geometri lainnya:
6, 12, 24, 48, 96, …
4, -6, 9, -13,5, …
Urutan pertama memiliki rasio umum 2:
6/12 = 12/24 = 48/24 = 96/48 = 2
Urutan kedua juga geometris. Mungkin sulit dilihat pada awalnya, tetapi memiliki rasio umum (-3/2):
-6/4 = 9 / -6 = -13,5 / 9 = -3/2
Sekarang mari kita lihat beberapa barisan yang bukan geometri:
1, 4, 9, 16, 25, …
100, 90, 80, 70, 60, …
Pada setiap barisan, hubungan antara suku-suku yang berurutan tidak sama. Misalnya, 4/1 tidak sama dengan 9/4 pada urutan pertama. Pada urutan kedua, 90/100 tidak sama dengan 80/90.
Aturan barisan geometri
Suku ke- n suatu barisan geometri dinyatakan sebagai a ( n ). Misalnya, a (1) adalah suku pertama deret tersebut dan a (7) adalah suku ketujuh deret tersebut. Untuk berpindah dari satu suku ke suku berikutnya, kita perlu mengalikan suku sebelumnya dengan rasio r . Aturan mencari suku ke- n suatu barisan adalah:
|
|
|
Gambar 1 |
Perhatikan bahwa suku pertama a (1) dikalikan dengan r pangkat (1 – 1) atau nol. Angka apa pun yang dipangkatkan menjadi nol adalah 1, jadi kita cukup mengalikan suku pertama dengan 1. Saat kita menghitung setiap suku berikutnya, kita terus mengalikan dengan r . Suku ketujuh adalah a (1) dikalikan dengan r enam kali atau r ^6.
Tuliskan aturan barisan geometri
Mari kita tuliskan aturan suku ke- n dari barisan geometri berikut:
3, 15, 75, 375, 1875,…
Suku pertamanya adalah a (1) = 3. Rasio umum r yang dibentuk dengan menggunakan pasangan suku berurutan apa pun adalah 15/3 = 5. Kita dapat mengganti nilai-nilai ini ke dalam aturan umum untuk barisan geometri:
|
|
|
Gambar 2 |
Sekarang setelah kita memiliki aturan untuk barisan ini, kita dapat dengan mudah menemukan suku apapun dalam barisan tersebut. Mari kita cari ( 9):
a (9) = 3 (5) ^ (9 – 1)
ke (9) = 3(5)^8
a (9) = 1.171.875
Kita akan menulis aturan suku ke- n dari barisan geometri dengan rasio umum 6 dan ( 3) = 72.
Kita diberi r , tetapi kita perlu menemukan a (1).
a ( n ) = a (1) r ^ ( n – 1) (tulis aturan umum)
a (3) = a (1) r ^(3-1) (ganti n dengan 3)
72 = a (1) 6 ^ 2 (menggantikan a (3) tahun )
2 = a (1) (pecahkan untuk a (1))
Sekarang kita dapat menulis aturannya:
|
|
|
gambar 3 |
Ringkasan Pelajaran
Suatu barisan geometri dibentuk dengan mengalikan setiap suku sebelumnya dengan faktor yang sama, yang kita sebut rasio r . Ketika diberikan aturan untuk barisan geometri tertentu, suku pertama a (1) dari barisan tersebut dan rasio umum barisan tersebut dapat diidentifikasi dengan jelas. Ketika aturan untuk barisan geometri tertentu tidak diberikan, aturan tersebut dapat ditemukan hanya dengan beberapa perhitungan, dengan informasi yang sesuai.
