tiga adalah angka ajaib
Dulu, sekarang dan masa depan. Iman, harapan dan amal. Tidak dapat disangkal bahwa tiga adalah angka ajaib. Dalam dunia matematika, angka tiga membuat kita berpikir tentang segitiga. Ya, setiap segitiga memiliki tiga sisi, tetapi yang lebih mendasar dari itu, mereka memiliki tiga titik, atau simpul . Tiga garis bisa ada dan tidak membentuk segitiga (berpikir paralel) tetapi tidak mungkin memiliki tiga titik yang tidak. Jadi, untuk menghormati tiga penyihir, pelajaran ini mencoba membuktikan beberapa fakta tentang pendamping magis mereka: segitiga.
Teorema dan bukti
Teorema adalah pernyataan matematis yang kita buktikan kebenarannya. Teorema bukanlah fakta yang jelas, seperti segitiga yang memiliki tiga sisi. Definisi sederhana seperti itu tidak membutuhkan bukti, itu saja. Teorema adalah fakta yang kita tidak akan segera tahu apakah itu benar atau mengapa. Sebaliknya, kita harus membuktikan, atau membuktikan , bahwa itu benar menggunakan beberapa logika. Pertimbangkan fakta bahwa semua sudut interior sebuah segitiga berjumlah 180 o . Ini adalah fakta yang dipelajari banyak siswa sejak dini, tetapi dari mana asalnya? Karena itu benar? Ayo buktikan!
Teorema Penjumlahan Segitiga
Ambil sembarang segitiga tua dan beri label sudutnya 1, 2, dan 3.
|
|
Kami tidak dapat berasumsi apa pun tentang mereka, terutama apa yang kami coba buktikan. Ini berarti kita tidak bisa hanya menetapkan nilai numerik karena itu terlalu spesifik dan tes perlu digeneralisasi untuk bekerja di semua kasus. Di situlah mempersempit masalah menjadi sesuatu yang lebih sederhana dapat membantu. Hal yang lebih sederhana dari segitiga adalah garis. Ambil segitiga kita dan gambar garis sejajar dengan satu sisi dan melalui simpul yang berlawanan seperti ini:
|
|
Ini menciptakan dua sudut lagi yang akan kita sebut 4 dan 5. Sudut 2, 4, dan 5 semuanya cocok bersama pada garis baru itu, dan Anda mungkin ingat bahwa garis atau sudut siku -siku juga 180 o . Jadi kita memiliki tiga sudut yang berjumlah 180 o , tetapi bukan tiga sudut yang kita inginkan. Kunci untuk membuat ini berhasil adalah garis yang kita buat sejajar dengan sisi itu. Ketika dua garis sejajar memotong garis ketiga (dua sisi segitiga kita yang lain), sudut kongruen yang dikenal sebagai sudut interior alternatif dibuat. . Sudut interior berseberangan terletak di antara sekumpulan garis yang sejajar tetapi berlawanan sisi dari garis perpotongan tersebut, seperti sudut 1 dan 4 dan sudut 3 dan 5. Artinya, meskipun kita tidak mengetahui ukuran pastinya, kita tahu tahu bahwa mereka adalah sama. Jadi jika sudut 2, 4, dan 5 dijumlahkan menjadi 180° , kita cukup mengganti sudut 4 dan 5 dengan 1 dan 3 dan sekarang semua sudut dalam kita berjumlah 180° .
Teorema Segitiga Sama Kaki
Hal hebat tentang Teorema Penjumlahan Segitiga dan cara kami membuktikannya adalah bahwa semua segitiga benar. Kami tidak menggunakan data tentang segitiga itu sendiri karena kami tidak tahu apa-apa. Untuk segitiga yang lebih spesifik, kita dapat menggunakan propertinya untuk membantu kita membuktikan lebih banyak tentangnya. Misalnya, segitiga sama kaki didefinisikan memiliki dua sisi yang kongruen atau sama. Kita dapat menggunakan ini untuk membuktikan teorema bahwa sudut alas segitiga sama kaki (sudut yang berhadapan dengan sisi yang kongruen) juga kongruen .
Pertimbangkan segitiga sama kaki ini:
|
|
Tanda tersebut menunjukkan bahwa sisi-sisinya kongruen, dan kita mencoba membuktikan bahwa sudut 1 kongruen dengan sudut 2. Sekali lagi, kita akan menggunakan garis tambahan untuk membantu kita dan meletakkannya tepat di tengah-tengah segitiga.
|
|
Karena sisi kongruen yang kita miliki, garis ini adalah garis simetri . Ini berarti setiap bagian di sebelah kiri garis cocok dengan bagian yang sesuai di sebelah kanan. Oleh karena itu, sudut 1 berimpit dan kongruen dengan sudut 2.
Teorema Segmen Tengah Segitiga
Teorema terakhir kita untuk pelajaran ini kurang dikenal, tetapi sekali lagi berlaku untuk segitiga apa pun. Pertimbangkan segitiga ABC , seperti di bawah ini, dengan segmen di dalamnya yang akan kita sebut XY . Ruas ini disebut ruas tengah , yang artinya sejajar dengan satu sisi dan memotong titik tengah kedua sisi lainnya. Teorema mengatakan bahwa ruas tengah segitiga apa pun harus setengah panjang sisi yang sejajar. Kunci pembuktian ini adalah segitiga sebangun . Ini adalah segitiga yang memiliki ukuran sudut dan sisi yang sama .
|
|
Segmen tengah XY itu membuat segitiga AXY yang lebih kecil yang ingin kita tunjukkan memiliki ukuran sudut dan sisi proporsional yang sama dengan ABC asli kita . Jadi bagaimana kita melakukannya tanpa mengetahui pengukuran ini? Ingat teorema pertama kita bagaimana garis sejajar menciptakan sudut yang kongruen? Kami memiliki situasi yang serupa lagi, tetapi kali ini ada sudut yang sesuai . Satu pasang adalah sudut 1 dan 2 dan sepasang sudut lainnya adalah 3 dan 4. Karena kedua segitiga berbagi sudut ketiga, jelas kongruen dengan dirinya sendiri. Jadi kita memiliki sudut yang kongruen, kita hanya perlu sisi yang proporsional. Ini berasal dari bagian kedua yang mendefinisikan segmen menengah; ruas tengah memotong titik tengah sisi-sisi segitiga. Itu berarti seluruh sisi AB dipotong setengah di X . Jadi, panjang XB adalah setengah dari AB dan demikian pula, YB adalah setengah dari CB . Ini adalah definisi proporsional, artinya sisi yang tersisa juga setengah. Oleh karena itu, kami membuktikan teorema tersebut!
Ringkasan Pelajaran
Ini hanyalah contoh dari semua teorema yang mungkin Anda lihat tentang segitiga. Jika Anda menemukan yang baru untuk dicoba, cobalah beberapa teknik yang kami gunakan di sini. Menambahkan baris ekstra dapat membantu dan mengetahui definisinya adalah kuncinya. Eksploitasi definisi seperti paralel dan titik tengah banyak terjadi dalam pengujian. Meskipun tidak dibahas secara mendalam di sini, mempelajari teorema kongruensi segitiga dan teorema kesamaan dapat membantu dengan banyak pembuktian, bahkan di luar segitiga biasa.
