Persamaan, pertidaksamaan, dan sifat-sifat bilangan real
Pertidaksamaan dan persamaan mungkin tampak berlawanan satu sama lain, tetapi menyelesaikan pertidaksamaan lebih seperti menyelesaikan persamaan daripada yang mungkin Anda pikirkan. Sifat yang sama dari bilangan real yang kita gunakan untuk menyetarakan dan menyelesaikan persamaan juga dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan. Jadi apa sifat-sifat bilangan real ini?
Mereka adalah sifat distributif, penjumlahan sifat persamaan, dan perkalian sifat persamaan. Properti ini memungkinkan Anda untuk menyeimbangkan kedua sisi persamaan sambil mempertahankan pernyataan yang benar. Masing-masing sifat ini digunakan dengan cara yang hampir persis sama saat menyelesaikan pertidaksamaan. Mari kita lihat bagaimana sifat-sifat ini berlaku untuk pertidaksamaan.
Sifat distributif
Pertama, kita memiliki sifat distributif . Anda mungkin mengenali properti ini. Untuk persamaannya, terlihat seperti ini, di mana a , b , dan c adalah bilangan real:
a ( b + c ) = ab + ac
Beruntung bagi kita, kita dapat menggunakan sifat distributif dengan cara yang persis sama untuk pertidaksamaan. Yang harus kita lakukan adalah mengubah tanda sama dengan menjadi simbol pertidaksamaan. Dengan kata lain, untuk bilangan real a , b , dan c :
Jika a ( b + c ) < d , maka ab + ac < d
Jika a ( b + c ) > d , maka ab + ac > d
properti tambahan
Sifat penjumlahan mengatakan bahwa menambahkan nilai yang sama ke kedua ruas persamaan adalah adil karena kedua ruas akan tetap sama nilainya. Artinya, untuk bilangan real a , b , dan c , kita tahu bahwa:
Jika a = b , maka a + c = b + c
Ini juga berlaku untuk ketidaksetaraan. Ganti saja tanda sama dengan dengan simbol pertidaksamaan dan kita memiliki properti penjumlahan dari pertidaksamaan. Untuk bilangan real a , b , dan c , kita dapat mengatakan bahwa:
Jika a < b , maka a + c < b + c
Jika a > b , maka a + c > b + c
Ini juga bekerja dengan pengurangan, karena Anda dapat menganggap pengurangan hanya dengan menambahkan angka negatif. Dengan kata lain, sifat ini benar meskipun c negatif.
properti perkalian
Sifat Perkalian Kesetaraan menyatakan bahwa mengalikan kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama akan mempertahankan persamaan tersebut tetap benar. Untuk bilangan real a , b , dan c , terlihat seperti ini:
Jika a = b , maka ac = bc
Saat kita mengalikan pertidaksamaan dengan angka yang lebih besar dari 0, sifat perkalian bekerja seperti pada persamaan.
Untuk c > 0…
Jika a < b , maka ac < bc
Jika a > b , maka ac > bc
Ingatlah bahwa pertidaksamaan menjadi sedikit aneh ketika kita mengalikan (atau membagi) dengan angka negatif: arah pertidaksamaan dibalik jika kedua ruas dikalikan dengan angka yang kurang dari 0.
Untuk c < 0
Jika a < b , maka ac > bc
Jika a > b , maka ac < bc
Selesaikan ketidaksetaraan multi-langkah
Sekarang kita dapat menggunakan properti ini untuk membantu kita menyelesaikan pertidaksamaan dalam satu variabel. Ingatlah bahwa menyelesaikan pertidaksamaan berarti mengatur ulang sehingga kita memiliki variabel yang kita cari di satu sisi pertidaksamaan dan angka di sisi lain.
Langkah 1 : Identifikasi variabel yang ingin Anda pecahkan. Kita akan menggunakan pertidaksamaan satu variabel dalam pelajaran ini, jadi hanya ada satu variabel yang perlu kita perhatikan.
Langkah 2 : Pisahkan variabel. Gunakan sifat distributif, penjumlahan, dan perkalian dari pertidaksamaan untuk mengatur ulang pertidaksamaan sehingga Anda memiliki variabel di satu sisi dan angka di sisi lainnya. Jangan lupa membalik simbol pertidaksamaan jika Anda mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif!
Langkah 3 – Periksa pekerjaan Anda. Setelah Anda menyelesaikan variabel Anda, masukkan nilai yang sesuai kembali ke pertidaksamaan awal dan sederhanakan. Jika pertidaksamaan Anda tidak sesuai dengan nilai yang Anda masukkan, kembali dan periksa kembali perhitungan Anda.
Contoh 1
Selesaikan -6 ( f – 4) <-36 untuk f .
Langsung saja, tanda kurung itu adalah indikasi bahwa kita ingin menggunakan sifat distributif, jadi mari kita mulai dari sana. Mari bagikan -6 di f dan -4 di sisi kiri.
-6 ( f – 4) <-36
-6 f + (-6) (-4) <-36
-6 hal + 24 <-36
Dengan menggunakan properti penjumlahan, kita dapat mengurangi 24 dari setiap sisi.
-6p + 24 – 24 <-36 – 24
-6f < -60
Menggunakan perkalian, kita dapat mengalikan setiap sisi dengan -1/6, yang sama dengan membaginya dengan -6. Karena kita mengalikan dengan -1/6, angka negatif di setiap sisi, simbol pertidaksamaan dibalik.
-6f < -60
(-1/6) (-6f ) > (-1/6) (-60)
f > 10
Kita tahu bahwa untuk pertidaksamaan ini, f harus lebih besar dari 10. Sekarang, pilih nilai sebenarnya dari pertidaksamaan f > 10, misalnya 11, dan hubungkan dengan pertidaksamaan awal untuk memeriksa jawaban Anda.
-6 ( f – 4) <-36
-6 (11 – 4) <-36
-6 (7) <-36
-42 <-36
Benar bahwa -42 lebih kecil dari -36, maka dapat dipastikan bahwa f > 10 adalah jawaban yang benar.
Contoh 2
Selesaikan 3 ( x – 1) < x – 15 untuk x .
Kami memiliki tanda kurung di sisi kiri lagi, jadi mari kita gunakan sifat distributif yang kita kenal dengan baik.
3 ( x – 1) < x – 15
3x + 3 (-1) < x – 15
3 x – 3 < x – 15
Anda mungkin telah menyadari sesuatu yang sedikit aneh dengan pertidaksamaan ini: kita memiliki x di kedua sisi. Itu bukan masalah, karena kita masih bisa menggunakan properti penjumlahan selama kita memastikan untuk menjumlahkan atau mengurangkan kedua ruas pertidaksamaan dengan nilai yang sama. Karena kita memiliki x di sebelah kanan, mari kita kurangi kedua sisi pertidaksamaan dengan x dan lihat apa yang terjadi.
3 x – 3 < x – 15
3x – 3 – x < x – 15 – x
2x – 3 < -15
Kita telah berhasil memindahkan semua suku x ke ruas kiri pertidaksamaan. Sekarang kita bisa mulai mengisolasi variabel. Kita bisa mulai dengan menggunakan properti tambahan untuk menambahkan 3 ke kedua sisi.
2 x – 3 + 3 <-15 + 3
2x < -12
Sekarang, properti perkalian ikut bermain untuk coup de grace. Kita dapat membagi setiap sisi dengan 2 (sama dengan mengalikan setiap sisi dengan 1/2). Kita tidak mengalikan atau membagi dengan angka negatif di sini, jadi tanda pertidaksamaan tidak akan berubah arah.
2x < -12
2x ÷ 2 <-12 ÷ 2
x <-6
Sekarang, periksa kembali jawaban Anda dengan memasukkan nilai sebenarnya dari pertidaksamaan x < -6, misalnya x = -10.
3 ( x – 1) < x – 15
3 (-10 – 1) <-10 – 15
3 (-11) <-25
-33 <-25
Kita tahu pasti bahwa -33 kurang dari -25, jadi kita dapat dengan aman mengatakan bahwa x < -6 adalah jawaban yang benar.
Ringkasan Pelajaran
Kita melihat bahwa sifat yang sama yang membantu kita menyetarakan persamaan dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan multilangkah. Berikut ulasan singkat tentang bagaimana properti tersebut berhubungan dengan ketidaksetaraan:
|
Properti |
Penyataan |
|
Distributif |
Jika a ( b + c ) < d , maka ab + bc < d |
|
Tambahan |
Jika a < b , maka a + c < b + c |
|
Perkalian untuk c > 0 |
Jika a < b , maka ac < bc |
|
Perkalian untuk c < 0 |
Jika a < b , maka ac > bc |
Namun, pertidaksamaan memiliki bola lengkung: jika Anda mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif, Anda harus membalik arah simbol pertidaksamaan!
Sangat penting untuk mengikuti langkah-langkah yang benar untuk menyelesaikan ketidaksetaraan multi-langkah dengan benar:
Langkah 1 : Identifikasi variabel yang ingin Anda pecahkan.
Langkah 2 : isolasi variabel menggunakan sifat distributif, penjumlahan, dan perkalian dari pertidaksamaan. Jika Anda mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif, ingatlah untuk membalikkan tanda pertidaksamaan!
Langkah 3 : Periksa hasil kerja Anda dengan memasukkan nilai riil ke dalam pertidaksamaan awal.
