Definisi Notasi Interval
Ada banyak trik kecil yang digunakan untuk menyederhanakan masalah dan informasi dalam matematika. Notasi interval adalah salah satunya. Saat kami menyatakan satu set bilangan real menggunakan titik awal dan akhir serta tanda kurung dan tanda kurung, kami menggunakan notasi interval. Mari kita lihat lebih dekat bagaimana ini bekerja.
Katakanlah Anda sedang mencari layanan ponsel baru. Anda memiliki dua opsi: Anda dapat memperbarui kontrak dengan operator Anda saat ini dan mendapatkan ponsel baru secara gratis, atau Anda dapat membeli ponsel dengan harga penuh dan menggunakan operator prabayar dengan paket bulanan yang lebih murah. Anda menghitung dan menemukan bahwa untuk bulan 1-15, paket kontrak lebih murah, tetapi setelah 15 bulan, penyedia layanan prabayar menjadi pilihan yang lebih murah.
Sekarang, jika Anda membagikan informasi ini dengan salah satu teman Anda, Anda tidak akan mengatakan:
Jika saya menggunakan layanan telepon baru saya selama satu, dua, tiga, empat, lima, enam, tujuh, delapan, sembilan, sepuluh, sebelas, dua belas, tiga belas, empat belas, dan lima belas bulan, lebih murah untuk tetap menggunakan penyedia saya saat ini, tetapi jika saya berencana untuk memakainya selama enam belas, tujuh belas, delapan belas, sembilan belas, dua puluh, dll. bulan, operator prabayar lebih murah.
Itu gila. Tidak ada yang berbicara seperti itu. Sebaliknya, Anda akan menyederhanakannya untuk teman Anda dan mengatakan sesuatu seperti:
Jika saya menyimpan telepon hingga 15 bulan, paket kontrak lebih murah, tetapi jika saya menggunakannya selama 16 bulan atau lebih, paket prabayar akan lebih murah.
Dengan kata lain, saya tidak akan mencantumkan semua kemungkinan yang berlaku untuk kedua situasi tersebut.
Berbagai macam kemungkinan dengan awal dan/atau titik akhir disebut himpunan dalam matematika. Himpunan adalah sekelompok item yang unik dan tidak berulang, atau, dalam kasus telepon, nomor yang mewakili bulan. Satu set bisa menjadi jumlah bulan termurah untuk memperpanjang kontrak Anda. Set lainnya bisa berupa jumlah bulan yang lebih murah untuk melunasi telepon dan beralih ke operator prabayar. Set ketiga bisa berbulan-bulan di mana biayanya persis sama. Notasi interval adalah cara yang baik untuk menyatakan himpunan ini dalam matematika. Mari kita lihat bagaimana sebenarnya notasi interval bekerja.
Penulisan himpunan dalam notasi interval
Sebelum Anda dapat menulis himpunan dalam notasi interval, Anda perlu menentukan dua hal. Pertama, Anda harus menentukan titik akhir interval. Titik akhir adalah interval angka antara satu titik dan titik lainnya. Dalam contoh telepon paket kontrak kami, titik akhir adalah 1 dan 15. Titik akhir dapat berupa angka, tak terhingga positif, atau tak terhingga negatif. Hal kedua yang harus ditentukan adalah jenis interval yang Anda miliki.
- Dalam interval terbuka , kedua titik akhir tidak termasuk dalam interval. Itu ditulis dalam format (a,b) di mana a dan b adalah titik akhir.
- Dalam interval tertutup , titik akhir disertakan dalam interval. Itu ditulis dalam bentuk yang ditunjukkan di bawah ini, di mana a dan b adalah tanda titik.
Jadi, tanda kurung menunjukkan titik akhir terbuka (titik akhir tidak disertakan) dan tanda kurung menunjukkan titik akhir tertutup (titik akhir disertakan). Ketika ada kombinasi titik akhir yang disertakan dan titik akhir yang tidak disertakan, setiap sisi interval akan diidentifikasi menurut jenis titik akhirnya. Misalnya, (2, 6] akan menjadi interval kiri-kanan, kanan-tertutup, karena titik akhir kiri tidak termasuk dalam interval, tetapi titik akhir kanan. Berikut ini adalah contoh interval kiri-kanan -terbuka karena titik akhir kiri, -1, disertakan dalam rentang dan titik akhir kanan, 10, tidak disertakan.
Ketika akhir interval berlanjut selamanya ke tak terhingga positif atau negatif, maka interval akan diidentifikasi sebagai terbuka atau tertutup ke kanan atau kiri, tergantung pada sisi mana yang memiliki titik akhir numerik (ini akan menentukan apakah itu kanan atau kiri) dan apakah endpoint tersebut disertakan atau tidak (terbuka atau tertutup). Interval berikutnya adalah interval tertutup kiri karena terdapat titik akhir numerik hanya di sisi kiri, dan interval tertutup karena -1 termasuk dalam interval.
Namun, contoh berikut adalah interval terbuka kanan karena hanya sisi kanan yang memiliki titik akhir numerik, 0, dan tidak termasuk dalam interval.
Setelah Anda menentukan titik akhir dan jenis interval, Anda dapat menyatakan pertidaksamaan atau kumpulan angka apa pun dalam notasi interval.
Kembali ke contoh telepon, himpunan yang kita temukan dapat ditulis sebagai pertidaksamaan. Dalam bulan 1-15, lebih murah untuk memperpanjang kontrak Anda dan mendapatkan telepon gratis. Ini dapat ditulis sebagai:
Dalam contoh, x mewakili jumlah bulan yang Anda rencanakan untuk menggunakan telepon.
Selama 16 bulan dan seterusnya, lebih murah untuk membeli telepon dengan biaya penuh dan beralih ke operator prabayar. Ini dapat ditulis sebagai:
Sekarang, kita akan menyatakan ketidaksetaraan tersebut dalam notasi interval. Untuk set pertama, yang mewakili semua bulan termurah untuk memperpanjang kontrak, kami memiliki titik akhir 1 dan 15. Apakah ini termasuk dalam set? Ya, karena Anda hanya dapat memiliki layanan ponsel selama 1 bulan, 1 akan disertakan dalam set dan memiliki braket di sebelahnya. Poin terakhir 15 harus dimasukkan jika Anda dapat memiliki layanan selama 15 bulan (ya, Anda bisa), dan lebih murah untuk layanan 15 bulan untuk memperpanjang kontrak Anda (ya, itu). Oleh karena itu, 15 akan disertakan dan juga akan mendapat dukungan.
Jadi notasi interval dari himpunan yang mewakili bulan-bulan di mana lebih murah untuk memperpanjang kontrak Anda adalah:
Perhatikan bahwa ini adalah interval tertutup karena kedua titik akhir disertakan di dalamnya. Sekarang, mari kita lihat set lainnya.
Untuk interval kedua, yang mewakili semua bulan di mana lebih murah untuk membeli telepon dan menggunakan operator prabayar, titik akhirnya adalah 16, karena pada 16 bulan menjadi lebih murah untuk membeli telepon. Tapi apa titik akhir lain dari ketimpangan? Jika Anda memikirkannya, sebenarnya tidak ada batasan berapa bulan Anda dapat bertahan dengan penyedia prabayar yang baru. Dengan kata lain, akan lebih murah setelah 16 bulan, 17 bulan, 18 bulan, 19 bulan, 20 bulan, dst, dan Anda dapat terus menghitung jumlah bulan selamanya. Oleh karena itu, hanya ada satu titik akhir numerik untuk interval ini (16) karena dapat berlanjut hingga tak terhingga positif. Ini cocok dengan pertidaksamaan yang kita tulis, karena tidak ada batas atas di mana x harus lebih kecil dari:
Himpunan yang mewakili bulan-bulan termurah untuk membeli telepon Anda dan mengganti operator adalah interval tertutup kiri, karena 16 termasuk di dalamnya, tetapi tak terhingga positif tidak menurut definisi:
contoh soal
Mari kita lihat beberapa contoh soal.
- Tulis pertidaksamaan berikut dalam notasi interval dan tentukan jenisnya.
x <-5
Ketidaksetaraan ini menyumbang semua angka yang kurang dari -5 dan mengarah ke tak terhingga negatif. Oleh karena itu, dalam notasi interval akan ditulis sebagai:
Ada tanda kurung di sekitar -5 karena tidak termasuk dalam rentang. Jenis interval terbuka ke kanan.
- Tulis pertidaksamaan berikut dalam notasi interval dan kenali jenisnya.
Pertidaksamaan ini mewakili semua angka yang lebih besar dari 0 dan kurang dari atau sama dengan 20. Oleh karena itu, titik ujung kiri, 0, terbuka, tetapi titik ujung kanan, 20, tertutup. Notasi intervalnya adalah (0,20] dan tipe intervalnya buka-kiri, tutup-kanan.
- Tulis pertidaksamaan majemuk berikut dalam notasi interval: x < 2 atau x > 7
Ketidaksetaraan pertama menyumbang semua angka kurang dari, tetapi tidak termasuk, 2. Jadi itu akan berubah dari tak terhingga negatif menjadi 2, yang memiliki tanda kurung:
Ketidaksetaraan kedua mewakili semua angka dari 7, tidak termasuk, hingga tak terhingga positif:
Jadi jawaban lengkap untuk contoh soal ini terlihat seperti ini:
- Grafik di bawah ini menunjukkan grafik pertidaksamaan pada garis bilangan. Tulis interval yang mewakili pertidaksamaan yang ditunjukkan:
Ujung kiri, -1, dilingkari, menandakan bahwa itu termasuk dalam himpunan. Oleh karena itu, -1 akan memiliki tanda kurung siku. Paling kanan, 3, memiliki lingkaran terbuka, menunjukkan bahwa itu tidak termasuk dalam himpunan dan akan memiliki tanda kurung. Jadi akan ditulis seperti ini:
Ringkasan Pelajaran
Mari kita periksa. Himpunan bilangan real apa pun dapat ditulis dalam notasi interval . Ada dua jenis interval: interval terbuka , di mana tidak ada titik akhir yang disertakan dalam himpunan dan interval akan memiliki tanda kurung di kedua sisi, dan interval tertutup , di mana titik akhir disertakan seperti yang ditunjukkan oleh tanda kurung di kedua sisi.
Ketika ada kombinasi titik akhir yang disertakan dan titik akhir yang tidak disertakan, setiap sisi interval akan diidentifikasi menurut jenis titik akhirnya. Misalnya, (2,6] akan menjadi interval tertutup di sebelah kanan dan terbuka di sebelah kiri, karena titik akhir kiri tidak termasuk dalam interval, tetapi titik akhir kanan termasuk. Notasi interval dapat digunakan untuk memberikan pertidaksamaan, grafik pada garis bilangan, atau bahkan pernyataan yang menggambarkan sekumpulan angka.