Apa itu bilangan irasional?
Di luar matematika, kami menggunakan kata “irasional” yang berarti gila atau tidak logis; Namun, bagi ahli matematika, irasional mengacu pada jenis angka yang tidak dapat ditulis sebagai pecahan (rasio) hanya dengan menggunakan bilangan cacah positif dan negatif (bilangan bulat). Misalnya, Anda dapat menulis bilangan rasional 2,11 sebagai 211/100, tetapi Anda tidak dapat mengonversi bilangan irasional ‘akar kuadrat dari 2’ menjadi pecahan eksak apa pun.
Namun, jangan berasumsi bahwa bilangan irasional tidak ada hubungannya dengan kegilaan. Legenda menunjukkan bahwa sekitar 500 SM. C., kaum Pythagoras, sekelompok filsuf Yunani, melemparkan seorang pria bernama Hippasus ke laut dari kapal, sebagai hukuman karena membuktikan bahwa akar kuadrat dari 2 tidak rasional.
Salah satu trik mental yang dapat Anda gunakan untuk memvisualisasikan apakah suatu bilangan rasional atau irasional adalah memikirkan bilangan tersebut dalam bentuk pemotongan pizza. Misalnya, jika suatu bilangan rasional, Anda dapat membayangkan memotong pizza menjadi irisan berukuran sama yang dijelaskan oleh penyebut pecahan, dan kemudian memakan jumlah irisan yang dijelaskan oleh pembilangnya. Misalnya, 6/8 dapat ditemukan dengan memotong pizza menjadi 8 irisan dan kemudian memakan 6 irisan tersebut.
Untuk angka seperti 3,95, bayangkan memotong pizza menjadi masing-masing seratus irisan, lalu mengambil 395 irisan. Meskipun Anda mungkin tidak akan pernah merasa lapar, Anda dapat membayangkannya. Angka negatif seperti -3/10 sedikit lebih sulit, tetapi Anda masih bisa memvisualisasikannya jika Anda memotong pizza menjadi sepersepuluh dan kemudian mengembalikan 3 irisan.
Tidak mungkin memikirkan akar kuadrat dari 5 seperti itu. Meskipun mungkin ada cara lain untuk mengetahui cara mendapatkan akar kuadrat yang tepat dari 5 pizza, Anda tidak dapat melakukannya dengan memotong pizza menjadi sejumlah irisan yang sama dan kemudian mengambil porsi yang benar.
Dalam kebanyakan kasus, cara terbaik yang dapat kita lakukan untuk memvisualisasikan bilangan irasional adalah dengan mengaproksimasikannya dengan bilangan desimal.
Mari kita lihat beberapa bilangan irasional yang umum.
Perkebunan
Beberapa bilangan irasional yang paling umum adalah akar, seperti akar kuadrat dari 5 atau akar pangkat tiga dari 7. Akar kuadrat, akar pangkat tiga, dan akar pangkat yang lebih tinggi biasanya tidak rasional, asalkan tidak dapat disederhanakan dengan cara tertentu. bahwa simbol akar (akar kuadrat) menghilang.
Kadang-kadang kita menulis bilangan irasional kira-kira sebagai bilangan desimal, tetapi kita tidak pernah dapat melakukannya dengan tepat karena tempat desimalnya tidak terdefinisi dan tidak pernah jatuh ke dalam pola berulang.
Seperti yang ditunjukkan oleh Hippasus yang malang, tidak ada cara untuk menuliskan akar kuadrat dari 2 sebagai pecahan yang tepat. Itu tidak rasional (Akar kuadrat dari 2 = 1,41421356…).
Di sisi lain, -5.2 dapat ditulis sebagai -52/10, yang berarti itu adalah bilangan rasional, dan bahkan Pythagoras tidak akan menjatuhkan hukuman mati padanya.
Pi
Keliling lingkaran dibagi diameternya selalu sedikit lebih dari 3. Padahal, hasil pembagian ini adalah bilangan irasional yang biasa disebut dengan pi.
simbol pi |
Pi adalah bagian dari kelompok bilangan irasional khusus yang terkadang disebut bilangan transendental . Angka-angka ini tidak dapat ditulis sebagai akar, seperti akar kuadrat dari 11.
Banyak orang mengingat beberapa digit pertama pi: 3,14. Mengingat angka-angka itu bisa berguna, tetapi tidak tepat karena pi berlangsung selamanya (pi = 3,141592…). Pada tahun 2011, orang telah menemukan lebih dari 5 triliun digit pi, tetapi kita tidak akan pernah sampai pada akhirnya, karena tidak ada akhirnya!
Terkadang Anda mungkin melihat pi ditulis sebagai 7/22; namun, perhatikan bahwa seperti 3,14, 22/7 hanyalah perkiraan. Itu dekat dengan pi, tetapi tidak sama. Tidak ada pecahan yang persis sama dengan pi.
Bilangan Euler ( e )
Bagi ahli matematika, e lebih dari sekadar huruf alfabet. Bilangan irasional e secara resmi disebut konstanta Napier , tetapi umumnya disebut bilangan Euler , setelah Leonhard Euler (diucapkan ‘Oiler’). Seperti pi, e biasa terjadi di dunia nyata.
rumus untuk e |
Singkatnya, e adalah hasil dari menambahkan sedikit ke 1 dan kemudian menaikkannya menjadi pangkat yang sangat besar. Nilai yang dihasilkan (2,7182818284…) tidak rasional. Desimal berlangsung selamanya tanpa jatuh ke dalam pola berulang.
E adalah angka yang sangat berguna dalam dunia sains dan bisnis. Ini membantu kami menghitung bagaimana hal-hal tumbuh dari waktu ke waktu: jumlah bakteri dalam cawan petri, ukuran populasi kelinci, atau bunga yang diperoleh uang Anda dari rekening tabungan.
Fi
Bilangan irasional transendental lainnya diturunkan dari proporsi sisi-sisi bentuk geometris tertentu. Kadang-kadang disebut rasio emas , rata- rata emas, atau rasio ilahi , dan diwakili oleh huruf Yunani phi .
simbol phi |
Rasio sisi terpanjang dan terpendek dari bintang berujung lima ( pentagram ) mewakili phi dalam berbagai cara, seperti yang ditunjukkan pada warna pada gambar di bawah. Jika Anda membagi sisi berwarna apa pun dengan sisi berwarna lebih pendek berikutnya, Anda mendapatkan phi.
Staf |
Seperti bilangan irasional lain yang telah kita bahas, tempat desimal phi adalah abadi (phi = 1,618033988…). Terlepas dari kenyataan bahwa itu didasarkan pada rasio, phi tidak didasarkan pada rasio bilangan bulat, jadi Anda tidak akan dapat membuat irisan pizza yang tepat dengannya.
Ada banyak klaim bahwa rasio emas muncul di alam, tubuh manusia, seni, dan arsitektur. Rasio emas dianggap sangat menyenangkan mata manusia, seperti yang ditunjukkan oleh Mona Lisa, galaksi kita, dan piramida Mesir, yang semuanya memiliki dimensi mendekati phi.
Ringkasan Pelajaran
Mari kita periksa. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat ditulis sebagai pecahan yang hanya terdiri dari bilangan bulat. Pikirkan pizza: Ini adalah bilangan rasional jika Anda dapat memotong pizza menjadi irisan berukuran sama yang ditentukan oleh penyebutnya dan kemudian memakan jumlah irisan yang ditentukan oleh pembilangnya. Ini adalah angka irasional jika Anda tidak bisa. Bilangan irasional yang umum termasuk akar, pi, phi, dan bilangan Euler .
hasil pembelajaran
Setelah menyelesaikan pelajaran ini, Anda harus dapat:
- Menentukan bilangan irasional
- Ingat apa itu angka transendental
- Jelaskan empat jenis bilangan irasional umum.